天才無限家 - 電影

第一次在movie版po文,想說寫一些比較不一樣的東西,如果寫得太boring還請見諒,

我主要是想寫一些對這部電影的一些感想和補充,作為數學的逃兵看這部電影是很有感觸的

其實傳奇數學家很多,當然Ramanujan算是最有名的之一,比如還有一個鮮為人知的數學家

這個人在政治上是一個反猶太的白癡,在數學上是個超級天才只活了30歲

Oswald Teichmüller
https://en.wikipedia.org/wiki/Oswald_Teichm%C3%BCller

Grothendieck是我認為比Ramanujan更傳奇的數學家,希望有人如果可以建議電影公司

拍一下XD

Alexander Grothendieck
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck

第一次知道Ramanujan是因為以前研究Ramanujan的重鎮UIUC(伊利諾大學香檳校區)

的大師Bruce Berndt有一個學生是我大學老師,他說當時UIUC整個數學系都是做數論,包括

華羅庚教授也曾在UIUC教書,我認為華羅庚教授或是陳景潤應該也能拍一部勵志的電影,

而且後來電影中Ramanujan的方法圓法是(Hardy–Littlewood circle method)後來被

Ivan Vinogradov華羅庚教授和陳景潤教授發揮到極致的方法,特別是陳景潤教授證明的

歌德巴赫猜想1+2是這個領域的極致,著名數學家André Weil就稱讚

“陳景潤的每一項工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走”。對於陳景潤的成就，
一位著名的外國數學家曾敬佩和感慨地譽：他移動了群山！


http://159.226.2.2:82/gate/big5/www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/3/3_34/3_34_
1001.htm

電影的Ramanujan的方法圓法
https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_circle_method

首先先講被Littlewood信上說證明失敗的那個質數定理,就是著名的質數定理

1792年Gauss和1797年Legendre就猜出這個偉大結果,1848年Chebyshev有了重大突破,後來

在1896年Jacques Hadamard和 Charles Jean de la Vallée-Poussin用複變函數證明了

質數定理,這是解析數論和複變函數最了不起的結果之一

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

我在Hardy傳記有寫到Ramanujan的公式是正確的,但是1909年德國數學家Landau就給出

一個證明,Ramanujan的公式是正確的,但是這是解析數論的特殊分析,沒有給出一個嚴格的

證明就無法對其數學結構和意義,這也是為什麼大家對Ramanujan的工作不那麼欣賞,因為

做出聰明的猜想相較於證明是容易的多,這來自Ramanujan貧窮的教育知識背景有關

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

而這個質數定理的初等證明到了1949年Atle Selberg 和 Paul Erdos(艾迪需)

才給出來,八卦是Selberg拿去偷發表然後得了費爾茲獎

我最感動的是電影Littlewood去當兵寫給Hardy那封信,要Hardy好好照顧他

作為一個前輩和偉大的數學家,能說出Ramanujan比Euler和Jacobi偉大是非常了不起的

我想很多人會納悶為什麼不提數學王子Gauss? 因為數學家前三名

阿基米德 牛頓 高斯

幾乎是不可超越的orz

連高斯最優秀的學生Riemann都無法進前三,高斯很多學生是極其優秀的

事實上高斯曾說他最佩服的數學家是


阿基米德 牛頓 Eisenstein


這個猶太天才Eisensteinein也是如流星般殞落只活了29歲,事實上大部分數學家是

很長壽的

https://en.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein

Ramanujan和我們物理人幹的事情常常是數學家說的不嚴謹,就極限微分積分

亂對調之類的,大部分會對是真的運氣好XD,但是不能太苛求Ramanujan,他是幾乎沒有受到

正統大學數學教育的人,而且他多半為謀求生計所苦,他只是念了一本Carr的數學公式手冊,

當時著名的分析教科書Whittaker <<現代分析>>和,Bromwich的<<無窮級數>>還沒有出現,

如果Ramamnujan接觸到這二本書也許他的人生會更不一樣,還有Ramanujan活在一個實分析

才起步的時代,Ramanujan有時候是逆推湊出稍微解釋一些電影的一些東西

還有Ramanujan擅長玩弄無窮級數和無窮積分,特殊函數其實有些物理人玩

的比數學還多,電影中提到Euler和Jacobi這二位大神其實我馬上就知道他大概是講那些

工作,因為這些東西都是物理最重要的工具,比如Euler的Gamma函數,Jacobi的橢圓函數,

這些東西都是在物理有非常多的應用,Ramanujan也獨自發現了Riemann zeta函數的公式

而Ramanujan最著名的工作,就是怪物月光猜想,物理人想到Ramanujan在黑洞最重要的貢獻

應該就是怪物月光猜想,這個是著名的Rogers-Ramanujan and Moonshine,可以解釋黑洞

有194個態,我猜是這個Witten猜想,其實弦論教皇Witten也夠神奇可以拍電影了

Witten大學是念歷史的,做了許多跟數學和物理無關的工作才去搞物理,短短幾年變成人人

敬畏的數學家和物理學家


http://blog.sciencenet.cn/blog-711645-787189.html



http://www.mi.uni-koeln.de/~spring15/MaxPlanck1.pdf
Conjecture (Witten, Li-Song-Strominger)

The vertex operator algebra V is dual to a 3d quantum gravity

theory. Thus, there are 194 “black hole states”.


月光這東西在弦理論的保角場論有很重要的應用,先解釋一下什麼是怪物(Monster group)

https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group

就是有一個有限單群,他除了單位元素和自己就沒有其他子群,必較術語就是

沒有正規子群,所以沒辦法簡化了,他的階數有這麼大

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

這個為什麼叫做怪物? 因為他的階數超恐怖之外,他的paper有一萬多頁,有限單群的分類

是20世紀數學代數很重要的工作

怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪獸月光猜想的兩個主要成份之一。
此猜想與離散和非離散數學相關，並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)
所證明。

我在數學系遇到怪物群,卻在物理系遇到月光(moonshine),就是模函數

(modular function),這些在數學沒興趣的東西沒想到意外地跑進物理

因為物理統計力學和弦論少數人比較擅長算一些頂點代數,然後除了簡單的Lie群和

Kac Moody代數就不知不覺陣亡了,簡單來說就是保角場論CFT


怪物與月光
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35403.pdf

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1983年時 Frenkel13 -Lepowsky14 -Meurman15 使用物理學中的頂點算子 (vertex
operator)做出了 McKay 和 Thompson 所猜想的 Monster 模, 頂點算子的方法對群論來說
是全新的, 這些頂點算子開始時是物理學家在1960年代所發明的。 在 Frenkel,
Lepowsky 和Meurman 發表了他們文章後不久, Borcherds 在美國科學院的 proceedings
上發表了 「 Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster」

他在這篇文章中, 定義了一個新的代數系統, 稱為頂點代數 (vertex algebra)。
在文章中他提到 vertex algebra 與 KacMoody和 Monster 的關係, 最特別的是他提到
Frenkel-Lepowsky-Meurman 的 Monster模是個頂點代數。 要注意的是這篇文章是在
proceedings 上發表的, 所以文章很短沒有辦法把證明納入。

後來, Frenkel-Lepowsky-Meurman 修改他的一些定義, 引入頂點算子代數
(vertex operator algebra) 的觀念, 證明 Monster 模是頂點算子代數, 不單如此,
Monster 是這個頂點算子代數的自同構群, 所以 Monster 描述一個很大代數系統的對稱
性 (symmetry)。 這個 module 現在稱為月光頂點算子代數
(Moonshine Vertex Operator Algebra)。 在證明中Frenkel-Lepowsky-Meurman 等人必須
要用到 Griess 的結果, 所以 Griess 的工作也是非常重要的。

物理學弦論中的“沒鬼定理” (“no-ghost” theorem) 建造了一個李代數 (Lie algebra), 這是一個廣義
Kac-Moody代數, 目前也被稱為 Borcherds 代數, 最初也是由 Borcherds 所提出。

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我來解釋一下這個在物理中的鬼東西,這個就是在量子場論中的一種鬼場,

這個鬼是費曼取的,為了保持機率守恆而破壞規範對稱的一種奇怪的場叫做鬼場

而弦理論第一次革命當時轟動的原因就是消除反常而讓當時無知的世人瘋狂追逐弦論

反常就是在Virasoro代數構成的Lie代數,在量子情況多了個中心荷

(center charge),也就是反常項,為了消除這個反常項,這個值必須是26。

有二種方式解釋為什麼只要你承認玻色弦是26維而可以抵銷這種物理學家不喜歡

的反常一種是用Faddeev-Popov路徑積分和BRST量子化,另外是用光錐量子化,剩下的我都

忘光了@@

這裡用到一個著名的公式,其實Ramanujan也曾經用不嚴謹數學發現過


1+2+3+....=- 1/12



https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

至於為何Hardy要提Euler和Jacobi呢? 因為他們是解析數論最優秀的二位數學家,顯然

Ramanujan的變數變換直覺可以和偉大Euler和Jacobi媲美,事實上英國的數學在歐洲因為

牛頓和萊布尼茲之爭變得相較封閉而非常落後,Hardy本身就是當時的數學領袖,有人說當時

英國有三個數學家Hardy ,Littlewood和 Hardy-Littlewood,電影把劍橋大學老學究和迂腐

描述得非常洽當

如果以上有錯誤還請包涵,其實我對電影內容蠻有感觸的,有機會再分享

最後分享羅素電影片頭的全文


Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth,

but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture,

without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings

of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection

such as only the greatest art can show.

The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more

than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in

mathematics as surely as poetry.


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剛剛找到一些不錯的網站

http://www.abovetopsecret.com/forum/thread1063038/pg1

In 1913, the English mathematician G. H. Hardy received a letter from an
accounting clerk in Madras, India, describing some mathematical formulas he
had discovered. Many of them were old hat, and some were flat-out wrong, but
on the final page were three formulas that blew Hardy’s mind.

He wrote Hardy another letter saying that he had discovered what he
called “mock theta” functions, which entered into mathematics
“beautifully.”

Ramanujan listed 17 examples of these functions, but didn’t explain what
they had in common. The question remained open for more than eight decades


Jacobi Theta Functions
http://mathworld.wolfram.com/MockThetaFunction.html



Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow
https://www.quantamagazine.org/20150312-mathematicians-chase-moonshines-shadow/


Monday, December 15, 2014
Mathematicians prove the Umbral Moonshine Conjecture
http://esciencecommons.blogspot.tw/2014/12/mathematicians-prove-umbral-moon
shine.html
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